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El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para hacer referencia a las distintas operaciones aritméticas que se realizan. Cualquier persona que sepa cocinar pozole utiliza el álgebra, pues la receta de la tía Cuca es una ecuación en donde los ingredientes varían según la cantidad de gentes invitadas.

El álgebra es muy parecida a la aritmética, en donde aprendemos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. La diferencia es que en álgebra utilizamos letras. Tomemos por ejemplo la operación
1 más 2 es igual a 3.

En aritmética la escribimos: 1 + 2 = 3
En álgebra la escribimos.      a + b = c

Le podemos dar valores distintos a las letras a, b y c
Si    a = 1     b = 2    entonces    c = 3
Si    a = 3     b = 5     entonces    c = 8

Indice
Lección 1: La Ecuación
Lección 2: La Incógnita
Lección 3: Las Variables
Lección 4: Operaciones Comunes
Lección 5: Multiplicación y División
Lección 6: Uso de Paréntesis
Lección 7: Números Negativos

La Ecuación

Los ejemplos que hemos visto forman lo que en álgebra se conoce como ecuaciones. Expresan cantidades relacionadas entre sí por medio de operaciones de aritmética y el signo de igualdad. Es importante notar que los dos lados de la ecuación deben ser iguales. En la ecuación  1 + 2 = 3   los dos lados son iguales, es decir 3 = 3
En una ecuación podemos pasar cualquier cantidad de uno al otro del signo = pero debemos cambiar su signo. Vamos a ver que sucede con la ecuación si movemos las cantidades.

1 + 2 = 3
Si pasamos el 2 a la derecha tenemos que hacerlo con signo de menos (resta):
1 = 3 – 2  quedando 1 = 1

1 + 2 = 3
Si pasamos el 1 a la derecha lo hacemos con signo de menos, entonces:
2 = 3 – 1 quedando 2 = 2

1 + 2 = 3
Si pasamos la cantidad 3 al lado izquierdo de la ecuación pasa con signo menos:
1 + 2 – 3 =  0
3 – 3 = 0

Es importante notar que en todos los casos los lados de la ecuación son iguales y que obtenemos diferentes resultados según movamos las cantidades de uno a otro lado.

La Incógnita

La  ecuación 1 + 2 = 3 se escribe en álgebra como sigue:
1 + 2 = x  en donde “x” es el valor que queremos encontrar, y como no lo conocemos, decimos que “x” es una incógnita.
Para encontrar el valor de x decimos que resolvemos la ecuación x = 3
Al sustituir el valor de x  tenemos 1 + 2 = 3 como ya hemos visto.

Hagamos la siguiente ecuación: 1 + x = 3
Ya vimos que podemos pasar el 1 al lado derecho de la ecuación cambiándole su signo:
x = 3 – 1  cuyo resultado es x = 2
Como vemos, las operaciones en aritmética y álgebra son las mismas.

Las Variables

Ahora vamos a ver operaciones en las que tenemos dos incógnitas que también podemos llamar “variables” pues irán cambiando dependiendo del valor de la otra. En álgebra se usan letras minúsculas para las variables. Veamos el siguiente ejemplo:
a – 4 = b – 2
Si queremos calcular el valor de “a” entonces todas las otras cantidades deben quedar en el lado opuesto de la igualdad:

a = b – 2 + 4
a = b + 2 que es nuestra ecuación “simplificada” es decir, más simple para resolverla.

Como podemos ver, el resultado de la variable “a” depende de la cantidad que le demos a la variable “b”. En álgebra, la variable que no conocemos siempre se pone del lado izquierdo de la ecuación. Más adelante veremos que lo más común es usar la letra “x” como variable. Ahora podemos darle valores a la variable “b” para obtenre los valores de la incógnita “a”:

Para b = 1
a = b + 2  sustituimos el valor de b = 1
a = 1 + 2
a = 3

Para b = 2
a = b + 2  sustituimos el valor de b = 2
a = b + 2
a = 2 + 2
a = 4

Como podemos ver, el valor de la incógnita “a” depende del valor que le demos a la variable “b.

Operaciones Comunes

En álgebra hacemos operaciones aritméticas con letras. Veamos el caso más sencillo:
x + x = 2 x que es lo mismo que 2x = x + x
2x debe entenderse como 2 por “x”. Para no confundir la variable “x” con el signo de multiplicación, en álgebra se utiliza un punto:
2•x

Si hacemos x= 5  y sustituimos este valor en la ecuación 2x = x + x, tenemos:
2 • 5 = 5 + 5   que resulta 10 = 10

En la misma ecuación 2 x = x + x  pasamos una x al lado izquierdo de la ecuación y tendremos que
2 x -x= x

Sustituimos x = 5
2 • 5 – 5 = 5
10 – 5 =5   que resulta 5 = 5

Ejemplo 
Supongamos que un dólar es igual a 15 pesos y queremos tener una ecuación que nos permita cambiar pesos por dólares y también dólares por pesos.
Lo primero que debemos hacer es definir los elementos de la ecuación:
“d” es la cantidad de dólares que queremos cambiar a pesos
“p” es la cantidad de pesos vamos a obtener en la operación
15 es el tipo de cambio en pesos por dólar
Entonces si queremos cambiar 4 dólares a pesos:
p = 15 • d = 15 • 4 = 60 pesos

Multiplicación y División

Como ya dijimos, en álgebra la multiplicación no se señala con una “x” porque se puede confundir con la “incógnita x”. Hay dos maneras de señalar una multiplicación:
p = 15 • d       se puede utilizar un punto
p= 15 d           sin signo que es la manera aceptada
En álgebra, una cantidad que multiplica pasa al otro lado dividiendo, y si está dividiendo pasa multiplicando.
Fíjate como la variable “b” multiplica en un lado y divide en el otro:

b = c       a = c/b         c = a b      = c/a                                             
Si queremos saber cuántos dólares son 60 pesos partimos de la ecuación anterior
p = 15 d
Si queremos saber cuántos dólares son $60 pesos, la ecuación queda d = p ÷ 15
Sustituimos el valor de “p” que son los 60 pesos que queremos convertir a dólares:

d = 60 ÷ 15 = 4 dólares 

Uso de Paréntesis

En álgebra se pueden agrupar las cantidades usando paréntesis para simplificarlas.
Veamos este ejemplo.
2x + 5x = y
Esta ecuación la simplificamos usando paréntesis, en donde la variable “x” multiplica a la cantidad dentro del paréntesis:
x (2 + 5) = y  entonces  7x = y

Ejemplo 2
Vamos suponer que a Rosita y a sus 3 hermanos les gusta desayunar avena con leche. Sin embargo no todos desayunan avena todos los días. Las instrucciones de la caja de avena dicen que para 1 porción (para 1 persona) debemos usar:
Avena: 1 taza
Leche: 2 tazas

Las primera variable que tenemos que considerar es el número de personas que quieren avena cualquier día de la semana. Esta variable puede ser de 1 a 4 personas (Rosita y sus 3 hermanos). Llamemos “p” a esta variable. Hay otras dos variable  que son las tazas de leche que llamaremos “m” y las tazas de avena “a”. Podemos ver que la cantidad de tazas de leche es la cantidad de personas multiplicada por 2 y la cantidad de tazas de avena es igual a la cantidad de personas. Entonces
m = p 2  = 2p
a = p 1 = 1p = p

Cuando tengamos en número 1 como multiplicador no lo escribimos. En este caso, la cantidad de avena es igual al número de personas.
Podemos calcular las cantidades de ingredientes para cualquier número de personas que quieran avena:

“p” m = 2p tazas a = p tazas
Personas Leche Avena
1 2 1
2 4 2
3 6 3
4 8 4

Este ejemplo es muy sencillo, pero si pensamos en una fiesta en le que pudiéramos tener entre 50 y 75 invitados y que se les va a dar una sopa que por persona requiere 1/3 de taza de caldo de pollo, 1/ 4 de kilo de carne de res y 1/8 cucharada de orégano, entonces estas tablas son de gran ayuda pues tendríamos a la mano la cantidad de ingredientes para cualquier cantidad de invitados. Podríamos también saber el costo exacto de la sopa.

Ejemplo 
La distancia entre Houston y San Antonio es de 180 millas. Si la velocidad máxima autorizada es de 60 millas por hora. ¿Cuánto tiempo nos tomará hacer el viaje?
Sabemos que la velocidad se indica millas por hora, es decir, la distancia recorrida en una hora.
Vamos a definir las variables:

v = velocidad en millas/hora
d = distancia por recorrer en millas
t = tiempo en horas que tardamos en recorrer esa distancia

Entonces  v =  d ÷ t  que es lo mismo que v = d/t
Para calcular el tiempo tenemos que pasar la variable “t” al lado izquierdo de la ecuación como multiplicación y la “v” al lado derecho como división:

d = vt    por lo que    t = d ÷ v  que es lo mismo que t = d/v

Si vamos a 60 millas por hora, tardaremos 180 millas / 60 mph = 3 horas

Si subimos la velocidad a 90 mph tardaremos 180 millas / 90 mph = 2 horas
De la misma manera, si el viaje de 180 millas nos tomó 2.5 horas, nuestra velocidad promedio fue:

v = d/t = 180 millas÷ 2.5 horas = 72 mph

En estos cálculos hemos empleado las fórmulas de velocidad:

v = s/t      en millas ó kilómetros por hora

t = s/v     tiempo del viaje en horas

s = v•t     distancia recorrida en millas o kilómetros

Números Negativos

Para entender los números negativos el mejor ejemplo es la medición de la temperatura. En el sistema Celsius el punto de congelamiento del agua es el cero  0°C y el punto de ebullición del agua es 100°C. En el refrigerador de tu casa el congelador está a -18°C (se hace hielo) mientras que el refri está a 2°C y el agua no se congela. Decimos que el hielo esta a una temprratura bajo cero (negativa) y el refri está a una tenperatura sobre cero (positiva)..

Si decimos que tenemos 5 tortillas y le restamos 2, nos quedan 3 tortillas.
Pero ¿qué pasa si tenemos 2 tortillas y le restamos 5?
2 – 5 = – 3
No podemos tener “menos tres tortillas”, pero si podemos entender que “debemos tres tortillas”.
Si tenemos una cuenta bancaria vemos que el sueldo y los ingresos entran a la cuenta con signo (+) y lo que nos restan o pagamos entran como (-), de tal manera que si nuestro estado de cuenta es de – $ 75.00, tenemos que hacer algo para ingresar a la cuenta esos $75.00 que debemos antes que nos cobren interés.

En álgebra se utilizan los números negativos en los resultados de las ecuaciones.
Tomemos la ecuación   x = 5 – y    que equivale a    x + y = 5
Para  y = 2    x = 3         3 + 2 = 5
Para  y =       x = 0         0 + 5 = 5
Para  y = 7    x = – 2    –2 + 7 = 5
Podemos tener la suma de números negativos, por ejemplo: –5 – 10 = – 15

Multiplicación y división
con números negativos

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